Dimensions Capítulos 3 y 4: La cuarta dimensión.
El matemático Ludwig Schläfli nos habla de objetos en la cuarta dimensión y nos presenta un desfile de poliedros regulares en dimensión 4, objetos extraños de 24, 120 ¡incluso 600 caras!
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1- Ludwig Schäfli y los otros.
Hemos dudado mucho para elegir al presentador de este capítulo. La idea de la cuarta dimensión no se debe a un solo hombre y han sido necesarios numerosos espíritus creadores para asimilarla y establecerla en las matemáticas. Entre los precursores, podemos citar al gran Riemann, quien será presentador del último capítulo y tenía sin duda ninguna una idea muy clara de la cuarta dimensión desde la mitad del siglo diecinueve.
Hemos concedido la palabra a Ludwig Schläfli (1814-1895) , en parte para recordar a este espíritu original casi olvidado hoy, incluso entre los matemáticos. Es uno de los primeros que ha sido consciente de que, si bien nuestro espacio físico parece de dimensión tres, no hay nada que impida imaginar un espacio de dimensión 4 e incluso demostrar teoremas de geometría relativos a objetos matemáticos de dimensión 4. Para él, la cuarta dimensión era una abstracción pura, pero no hay duda de que después de años de trabajo, debía sentirse más a gusto en la cuarta dimensión que en la tercera. Su obra principal se titula Theorie der vielfachen Kontinuität y fue publicada en 1852. Hay que decir que pocos lectores han debido apreciar la importancia de este libro en su época. Ha sido necesario esperar hasta el comienzo del siglo veinte para que los matemáticos comprendieran el interés de tal trabajo monumental. Para mayor información sobre Schläfli, véase aquí y allá (en inglés).
Incluso entre los matemáticos, la cuarta dimensión ha conservado durante mucho tiempo su aspecto misterioso e imposible. Para el público en general, la cuarta dimensión evoca a menudo historias de ciencia ficción en las que se producen fenómenos paranormales o, a veces, la teoría de la relatividad de Einstein: “la cuarta dimensión es el tiempo ¿no es así?” Esto es confundir cuestiones de matemáticas y de física. Volveremos a ello brevemente más adelante. Intentemos primero adquirir la idea de la cuarta dimensión, como por ejemplo hace Schläfli, en tanto que pura creación del espíritu.
2. La idea de dimensión.
Schläfli comienza recordándonos cosas que hemos visto en los capítulos anteriores, explicándose sobre la pizarra. Una recta es de dimensión 1 porque para situarse sobre una recta es suficiente un solo número. Se trata de la abscisa de un punto, negativa a la izquierda de un origen y positiva a su derecha.
El plano de la pizarra es de dimensión 2 porque para situarse en este plano se pueden trazar dos rectas perpendiculares en la pizarra y localizar los puntos en relación con estos dos ejes: son la abscisa y la ordenada. Para el espacio en que vivimos, se pueden completar los dos ejes de la pizarra trazando un tercero, perpendicular a la misma. Naturalmente es un poco raro disponer de una tiza que trace rectas saliendo de la pizarra pero, como nos disponemos a partir hacia la cuarta dimensión, ¡necesitamos tizas mágicas!Todo punto del espacio puede, por consiguiente, ser localizado por medio de tres números denotados tradicionalmente x, y, z; por eso se dice que el espacio es de dimensión 3. Por supuesto que nos gustaría continuar así, pero no es posible trazar un cuarto eje perpendicular a los tres precedentes; no es una sorpresa, ya que el espacio físico en el que vivimos es de dimensión 3 y no es ahí donde hay que ir a buscar la cuarta dimensión, sino más bien en nuestra imaginación ...
Schläfli propone varias soluciones para que nos hagamos una idea de la cuarta dimensión. No hay un método único, así como no hay un método único para explicar la tercera dimensión a las lagartijas planas. Es la asociación de estos métodos la que nos permitirá echar un vistazo a la cuarta dimensión.
El primer método es el más pragmático. Podemos simplemente decretar que un punto del espacio de dimensión 4 es, ni más ni menos, el dato de cuatro números x,y,z,t. El inconveniente de abordar así la cuarta dimensión es que no se ve gran cosa, pero es un procedimiento completamente lógico y la mayoría de matemáticos se dan por satisfechos con él. También podemos intentar copiar las definiciones habituales en dimensión 2 y 3 para intentar definir objetos en cuatro dimensiones. Por ejemplo, podemos llamar (hiper-)plano el conjunto de los puntos ( x,y,z,t) que satisfacen una ecuación lineal de la forma ax+by+cz+dt=e, copiando la definición análoga de un plano en el espacio. Con este tipo de definiciones se puede desarrollar una geometría sólida, demostrar teoremas, etc. De hecho es la única manera de manejar seriamente espacios de dimensiones superiores. Pero el objetivo de esta película no es el de ser “demasiado serios” sino más bien el de “exhibir” la cuarta dimensión explicando la intuición que ciertos matemáticos tienen de ella.
Schläfli nos expone a continuación un método “por analogía”. La idea es observar con cuidado las dimensiones 1,2, y 3, y anotar ciertos fenómenos, después suponer dichos fenómenos también existen en la cuarta dimensión. ¡Es un juego difícil que no siempre funciona! Una lagartija que sale de su mundo y entra en la tercera dimensión debe esperar sorpresas y necesita tiempo para habituarse. Lo mismo es válido para un matemático que “por analogía” se alce a la cuarta dimensión... El ejemplo tomado por Schläfli es el de la serie “segmento, triángulo equilátero, tetraedro regular”. Se nota una analogía entre estos objetos y no hay duda de que el tetraedro generaliza en dimensión 3 el triángulo equilátero.
Entonces, ¿cuál es el objeto que generaliza el tetraedro en la cuarta dimensión?
El segmento tiene dos extremos y está en dimensión 1. El triángulo tienen tres vértices y está en dimensión 2. El tetraedro tiene cuatro y está en dimensión 3. Es tentador pensar que existe un objeto en el espacio de dimensión 4 con cinco vértices que continúa con la serie. Vemos a continuación que en el triángulo y en el tetraedro hay una arista que une cada dos vértices. Si intentamos hacer esto para los cinco vértices, sin preocuparnos demasiado del espacio en el que hacemos el dibujo, observamos que necesitamos diez aristas. Después intentamos naturalmente colocar caras triangulares para cada terna de vértices. Encontramos también diez. Y luego, continuamos colocando un tetraedro para cada cuaterna de vértices. El objeto que acabamos de construir no tiene una naturaleza muy clara... conocemos sus vértices, aristas, caras, caras tridimensionales, pero no lo vemos todavía muy bien. El matemático habla de combinatoria para describir lo que tenemos: sabemos qué aristas unen qué vértices, pero no tenemos todavía una visión geométrica del objeto. El objeto cuya existencia acabamos de adivinar y que continúa con la lista, segmento, triángulo, tetraedro, es lo que llamamos un símplice.
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3. Los poliedros de SchläfliLos polígonos se trazan en el plano y los poliedros en el espacio de dimensión 3. Los objetos análogos en dimensión 4 ( ¡o más!) reciben el nombre general de politopos, aunque a menudo se les llama también poliedros, sin más.
Así como Platón habló de los poliedros regulares en el espacio usual de dimensión 3, Schläfli describió los poliedros regulares en el espacio de dimensión 4. Algunos tienen una riqueza inimaginable, que la película intenta mostrar a espectadores de dimensión 3 (todos nosotros) como lo hizo al presentar los poliedros de Platón a las lagartijas, más que como se presenta un ramo de flores o un libro ( a decir verdad, a los autores de la película les gustaría ser capaces de enseñaros un ramo de flores en dimensión 4, ¡lástima que no pueda ser así!). Tenemos aquí una de las más bellas contribuciones de Schläfli: la descripción precisa de los seis poliedros regulares en dimensión 4. Como están en dimensión 4, tienen vértices, aristas, caras planas y caras de dimensión 3. En la tabla siguiente se indica el nombre de cada poliedro, con su número de vértices, aristas, caras planas y de dimensión 3
Nombre simple Nombre Vértices Aristas Caras 2D Caras 3D
Símplice Pentacoron 5 10 10 triángulos 5 tetraedros
Hipercubo Teseracto 16 32 24 cuadrados 8 cubos
16 Hexadecacoron 8 24 32 triángulos 16 tetraedros
24 Icositetracoron 24 96 96 triángulos 24 octaedros
120 Hecatonicosacoron 600 1200 720 pentágonos 120 dodecaedros
600 Hexacosicoron 120 720 1200 triángulos 600 tetraedros
Esto será útil para visualizarlos. Para mayor información sobre poliedros en dimensión 4, mirad aquí, o allí, o allá (en inglés).
4. “Ver” en dimensión 4.
¿Cómo “ver” en dimensión 4? Desdichadamente no podemos ofrecer “gafas 4D”, pero hay otras maneras.
El método de las secciones:
En primer lugar, podemos hacer como las lagartijas. Estamos en nuestro espacio de dimensión 3 e imaginamos que un objeto se desplaza progresivamente en el espacio de dimensión 4 cortando nuestro espacio.
La sección ahora, en lugar de ser un polígono que se deforma, es un poliedro que se deforma. Podemos obtener una apreciación intuitiva sobre la forma del poliedro observando las secciones que se deforman poco a poco y terminan por desaparecer. Reconocer el objeto de este modo no es fácil, es menos fácil incluso que para las las lagartijas...
En las película nos familiarizamos con tres de dichos poliedros: el hipercubo y los que llamamos “el 120” y “el 600”. Los veis cortar cortar el espacio y exhibir las secciones, que son poliedros en dimensión tres deformándose, ¡impresionante! aunque no es fácil de entender.
La imagen de la derecha muestra “el 600” atravesando nuestro espacio de dimensión tres.
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Dado que la dimensión 4 no es sencilla de comprender, no es inútil utilizar varios métodos complementarios.
El método de las sombras: El otro método presentado en este capítulo es casi más evidente que el de las secciones. También habríamos podido utilizarlo con las lagartijas. Es el método utilizado por el pintor que quiere representar un paisaje de dimensión 3 sobre su lienzo que es de dimensión 2. Proyecta la imagen sobre el lienzo. Por ejemplo, puede colocar una fuente luminosa detrás del objeto y observar su sombra sobre el lienzo. La sombra solo da información parcial del objeto, pero si se hace girar este delante de la luz y se observa cómo se deforma la sombra, a veces podemos hacernos una idea bien precisa de la forma del objeto. Esto es el arte de la perspectiva.
Aquí es lo mismo: podemos pensar que el objeto de la dimensión 4 que queremos representar tiene detrás una luz que proyecta su sombra en un lienzo que ahora es nuestro espacio de dimensión 3. Si el objeto gira en el espacio de dimensión 4, su sombra se modifica y así nos hacemos una idea de la forma del objeto en sí, aunque no lo veamos.
Primero vemos el hipercubo, bastante más claro que mediante las secciones.
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Luego “el 24”, objeto del que más orgulloso pensamos que estaba Schläfli. La razón es que este recién llegado es auténticamente nuevo, no generaliza de ningún modo un poliedro de la dimensión tres, como es el caso de los demás poliedros. Además, tiene la propiedad maravillosa de ser autodual: por ejemplo, tiene tantas caras de dimensión 2 como caras de dimensión 1 (las aristas) y tantas caras tridimensionales como vértices.
Finalmente vemos los poliedros 120 y 600 cuyas secciones habíamos visto ya. Este nueva vista nos enseña otros aspectos de los poliedros en dimensión 4, notoriamente complicados. Los dos métodos, las secciones y las sombras, tienen ventajas, pero hay que reconocer que no hacen justicia a todas las simetrías que ofrecen estos objetos magníficos.
En el capitulo siguiente usaremos otro método, el de la proyección estereográfica. Tal vez nos permita ver algo más claro.
5. “Ver” en dimensión 4: la proyección estereográfica.
(ver el capítulo 4 de la película: la cuarta dimensión, continuación) Schläfli nos presenta un último método para representar los objetos de la dimensión 4. Se trata simplemente de utilizar la proyección estereográfica. Aunque por supuesto, no se trata de la misma proyección que Hiparco nos ha enseñado en el capítulo 1.
Imaginemos que estamos en el espacio de dimensión 4 y consideremos una esfera. Para definirla, usamos la definición habitual, se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un punto que llamamos centro. Hemos visto que esta esfera en el espacio de dimensión 3 es de dimensión 2, dado que sus puntos pueden ser descritos por una longitud y una latitud. De algún modo podemos decir que la esfera en el espacio de dimensión 3 es solamente de dimensión 2 ya que “le falta” una dimensión, la altitud por encima de la esfera. Igualmente, la esfera en el espacio de dimensión 4 es de dimensión tres y “le falta” también una dimensión que de nuevo es la altitud por encima de la esfera.
¿Qué es la esfera en el plano, esto es en el espacio de dimensión 2? Es el conjunto de puntos a la misma distancia de un centro, es decir, una circunferencia. Así una circunferencia es una esfera en un espacio de dimensión 2, tiene dimensión 1 ya que para ubicarse en una circunferencia es preciso un solo número.
Más sorprendente: ¿qué es una esfera en un espacio de dimensión 1, es decir en una recta? Se trata del conjunto de puntos a la misma distancia de un centro. Solo hay dos, uno a la izquierda y otro a la derecha... Así la esfera en el espacio de dimensión 1 contiene únicamente dos puntos. Nada de extraño tiene pues que se diga que es de dimensión 0.
Resumamos: en el espacio de dimensión “n”, la esfera tiene dimensión “n-1”. Por eso los matemáticos la denotan Sn-1.
S0 S1 S2 S3
El comienzo del capítulo explica qué es la esfera S3, pero claro, ni siquiera Schläfli puede mostrarla. Lo más que puede hacer es enseñaros una esfera S2 y animaros hacer como si estuvierais en en un espacio de dimensión 4 e imaginar la esfera S3... La proyección estereográfica presentada por Hiparco proyecta la esfera S2 sobre el plano tangente al polo sur. Podemos proceder exactamente de la misma manera con la esfera S3. Tomamos el espacio tangente a la esfera S3 en su polo sur, que es de dimensión 3 y podemos ya proyectar cualquier punto de S3 , salvo su polo norte, sobre este espacio. Basta para ello prolongar la recta que pasa por el punto y el polo norte hasta que esta corta al espacio tangente en el polo sur... . Incluso siendo ésta una operación en dimensión 4, la figura es completamente análoga a la que ya hemos visto.
Supongamos que Schläfli quiera mostrarnos uno de los poliedros de la dimensión 4. Hará como ya hicimos con los reptiles. Inflará el poliedro hasta que este esté dibujado sobre la esfera S3 . Ahora puede proyectar estereográficamente sobre el plano tangente al polo sur, que es “nuestro” espacio de dimensión 3 y así podemos observar la proyección. Podemos también hacer rodar la esfera S3 sobre su espacio tangente y proyectar después para observar la danza del poliedro. Hay que señalar que cuando la rotación de la esfera lleva una cara del poliedro a pasar por el polo de la proyección, la proyección de la cara se hace de tamaño infinito y da la sensación de que explota sobre la pantalla. Tenemos la misma impresión que en el capítulo 1 cuando se proyectaban los poliedros en el plano.
Es el espectáculo que se propone en el capítulo 4: proyectar los poliedros de Schläfli estereográficamente al mismo tiempo que se le hace rodar...
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La geometría de los espacios de dimensión 4 es solo el comienzo, pues existen espacios de dimensión 5, 6, ... ¡incluso infinita!. Concebidas inicialmente como puras abstracciones, la física contemporánea las utiliza ampliamente. La teoría de la relatividad de Einstein utiliza un espacio-tiempo de dimensión 4. Un punto de este espacio-tiempo se describe por tres números que describen su posición y un cuarto que describe un instante.
La fuerza de la teoría de la relatividad es precisamente la posibilidad de mezclar en cierto modo estas cuatro coordenadas sin dar carta de privilegio al tiempo o al espacio, que pierden así su individualidad. No vamos a explicar aquí esta teoría entre otras cosas porque Schläfli no la conocía. La teoría de Einstein data de 1905, así pues bastante después de la eclosión de la idea matemática de la dimensión 4. No es la primera vez, ni la última, en que la física y las matemáticas interactúan, cada una aportando sus métodos, con objetivos y motivaciones diferentes, y sin embargo tan próximos...
Por otro lado, ¿no es cierto que la física de hoy en día postula espacios de dimensión 10 incluso más, o que la física cuántica trabaja en un espacio de dimensión infinita? Será necesario esperar un poco para que produzcamos una película sobre los espacios de dimensión 10 ...
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